集合论 (Set Theory) 概念
集合关系
| 关系类型 | 定义 | 公式 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 子集 |
| $ A \subseteq B $ | $ \{1, 2\} \subseteq \{1, 2, 3\} $ or $ \{1, 2,3\} \subseteq \{1, 2, 3\} $ |
| 真子集 | 如果 $A$ 是 $B$ 的子集，且 $A$ 不等于 $B$ | $ A \subset B $ | $ \{1, 2\} \subset \{1, 2, 3\} $ |
| 超集 |
| $ A \supseteq B $ | $ \{1, 2, 3\} \supseteq \{1, 2\} $ |
| 真超集 | 如果 $A$ 是 $B$ 的超集，且 $A$ 不等于 $B$ | $ A \supset B $ | $ \{1, 2, 3\} \supset \{1, 2\} $ or $ \{1, 2,3\} \supseteq \{1, 2, 3\} $ |
| 交集 |
| $ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\} $ | $ \{1, 2, 3\} \cap \{2, 3, 4\} = \{2, 3\} $ |
| 并集 |
| $ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\} $ | $ \{1, 2, 3\} \cup \{2, 3, 4\} = \{1, 2, 3, 4\} $ |
| 差集 |
| $ A - B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\} $ | $ \{1, 2, 3\} - \{2, 3, 4\} = \{1\} $ |
| 补集 |
| $ A^c = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\} $ | $ \{1, 2\}^c = \{3, 4\} $ |
| 笛卡尔积 |
| $ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ 且 } b \in B\} $ | $ \{x, y\} \times \{1, 2, 3\} = \{(x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3)\} $ |
子集和超集 (Subset and Superset)
- 子集：如果集合 $A$ 的所有元素都属于集合 $B$，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集，记作 $ A \subseteq B $。
- 真子集：如果 $A$ 是 $B$ 的子集，且 $A$ 不等于 $B$，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作 $ A \subset B $。
- 超集：如果 $A$ 包含集合 $B$ 的所有元素，则称 $A$ 是 $B$ 的超集，记作 $ A \supseteq B $。
- 真超集：如果 $A$ 是 $B$ 的超集，且 $A$ 不等于 $B$，则称 $A$ 是 $B$ 的真超集，记作 $ A \supset B $。
示例：如果 $ A = \{1, 2\} $ 且 $ B = \{1, 2, 3\} $，则 $ A \subset B $ 和 $ B \supset A $。
交集 (Intersection)
两个集合 $A$ 和 $B$ 的交集是指同时属于 $A$ 和 $B$ 的元素组成的集合，记作 $ A \cap B $。
公式：$ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\} $
示例：如果 $ A = \{1, 2, 3\} $ 且 $ B = \{2, 3, 4\} $，则 $ A \cap B = \{2, 3\} $。
并集 (Union)
两个集合 $A$ 和 $B$ 的并集是指属于 $A$ 或 $B$ 的元素组成的集合，记作 $ A \cup B $。
公式：$ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\} $
示例：如果 $ A = \{1, 2, 3\} $ 且 $ B = \{2, 3, 4\} $，则 $ A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} $。
差集 (Difference)
两个集合 $A$ 和 $B$ 的差集是指属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素组成的集合，记作 $ A - B $ 或 $ A \setminus B $。
公式：$ A - B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\} $
示例：如果 $ A = \{1, 2, 3\} $ 且 $ B = \{2, 3, 4\} $，则 $ A - B = \{1\} $。
补集 (Complement)
集合 $A$ 在全集 $U$ 中的补集是指不属于 $A$ 而属于 $U$ 的元素组成的集合，记作 $ A^c $ 或 $ \overline{A} $。
公式：$ A^c = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\} $
示例：如果 $ U = \{1, 2, 3, 4\} $ 且 $ A = \{1, 2\} $，则 $ A^c = \{3, 4\} $。
笛卡尔积 (Cartesian Product)
两个集合 $A$ 和 $B$ 的笛卡尔积是指所有有序对 $(a, b)$ 的集合，其中 $a \in A$ 且 $b \in B$，记作 $ A \times B $。
公式：$ A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ 且 } b \in B\} $
示例：如果 $ A = \{1, 2\} $ 且 $ B = \{x, y\} $，则 $ A \times B = \{(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)\} $。